Принцип Ферма

Принцип Ферма (принцип наименьшего времени Ферма) в геометрической оптике — постулат, предписывающий лучу света двигаться из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему (реже - максимизирующему) время движения (или, что то же самое, минимизирующему оптическую длину пути ).

Этот принцип, сформулированный в I в. Героном Александрийским для отражения света, в общем виде был сформулирован Пьером Ферма около 1660 года в качестве самого общего закона геометрической оптики. В разнообразных конкретных случаях из него следовали уже известные законы: прямолинейность луча света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе двух прозрачных сред.

Законы геометрической оптики и принцип Ферма

Конечность и постоянство скорости света позволяет вывести из принципа Ферма все три закона геометрической оптики.

Закон прямолинейного распространения

Поскольку свет распространяется в однородной среде с постоянной скоростью, то минимальность времени становится эквивалентной минимальному расстоянию. Поэтому доказательство закона прямолинейного распространения света из принципа Ферма тривиально: Свет в однородной среде движется по кратчайшему расстоянию, соединяющему две точки, т.е. по отрезку прямой.

Закон отражения

Для доказательства закона отражения света можно обратиться к рисунку. Если отразить точечный источник S в зеркале, то для любой точки R' будет верно равенство длин отрезков: SR' = S'R' . Поэтому время прохождения света по пути S → R' → А будет равно времени прохождения света по пути S' → R' → А . Согласно принципу Ферма свет будет распространяться по «кратчайшему расстоянию», а из всех подобных расстояний минимальное будет для пути S' → R → А , когда точка R' будет находиться на отрезке S'А , соединяющем мнимое изображение источника и точку наблюдения (глаз). Не трудно видеть, что для этой точки угол падения равен углу отражения.
Это доказательство, естественно, не является строгим. По старой доброй традиции вставлю фразу: «Пытливый читатель может провести строгое доказательство самостоятельно». Перечислю лишь теоремы планиметрии, которые в нем использовались:

• Признак равенства прямоугольных треугольников;
• Неравенство треугольника;
• Теорема о равенстве вертикальных углов;

На самом деле, в законе отражения есть еще фраза, которую многие часто забывают: падающий и отраженный лучи должны лежать в одной плоскости. Таким образом полное доказательство закона отражения не возможно без привлечения стереометрии. Эту часть доказательства «пытливый читатель также может провести строгое доказательство самостоятельно»

Закон преломления

Доказательство закона преломления света исходя из принципа Ферма несколько более сложное, чем представленные выше.

Принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса-Френеля в волновой оптике для случая исчезающей малой длины волны света.

В модели можно изменять следующие величины:

• Показатели преломления двух сред;
• Положение источника света;
• Положение приемника света;
• Положение точки на границе раздела двух сред.

При этом в модели автоматически вычисляются следующие величины:

• скорости распространения света в обоих средах;
• время прохождения света в каждой из сред

Скачать задание к работе

Управление интерактивной моделью

Модель разработана при помощи системы динамической математики GeoGebra

Автор: Анухин П.М., преподаватель физики, Аничков лицей
Создано: 01.09.2009
Лицензия: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Скачать модель

• Скачать лист миллиметровой бумаги формата A4