Равновесие балки с грузом на двух опорах

Классическая школьная задача про балку с подвешенным грузом, расположенную горизонтально на двух опорах решается с применением условий равновесия тела (см подробнее Равновесие рычага с тремя подвешенными грузами. ). Эти условия формулируются следующим образом:

Твердое тело может находиться в равновесии, если:

1. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: F_Σ = 0 (правило сил);
2. Сумма (в общем случае тоже векторная) моментов всех сил, действующих на тело равна нулю: M_Σ = 0 (правило моментов сил).

При этом ось вращения, относительно которой вычисляется сумма моментов сил можно выбирать произвольным образом. Обычно, для простоты вычислений точку, относительно которой вычисляют суммарный момент сил, выбирают таким образом, чтобы через эту точку проходила одна из сил. Так, для рычага удобно выбрать точку опоры, тогда в уравнениях будут подставляться только моменты сил тяжести грузов. В случае балки на двух опорах существует некоторый произвол выбора точки вращения. Кстати, в статике, когда вращение отсутствует, оно отсутствует относительно любой оси.

Центр масс

В случае, когда тело не является точечным, то есть имеет какие-то отличные от нуля геометрические размеры, и оно находится в однородном поле тяжести, то необходимо найти точку приложения силы тяжести. Можно показать, что при рассмотрении только поступательного движения тела (без учета вращения) тело ведет себя так-же, как если бы вся его масса была сосредоточена в одной его точке, называемой центром масс. Именно к этой точке и «приложена» сила тяжести. Если тело является однородным (его плотность постоянна во всех точках и отсутствуют пустоты), а также обладает центром симметрии (как например, круг, квадрат, ромб, равносторонний треугольник, куб, шар, правильный тетраэдр круговой цилиндр и т.п. ). То центр тяжести (его еще называют барицентром) находится в центре симметрии. В противном случае вычисление положения барицентра (центра тяжести) представляет собой задачу с применением интегрального исчисления. В представленной задаче балка имеет форму прямоугольного параллелепипеда и ее центр тяжести находится в геометрическом центре фигуры (прямоугольный параллелепипед обладает центром симметрии)

Интерактивная модель «Равновесие балки с грузом на двух опорах»

В модели можно изменять следующие величины:

• Масса бакли (зеленый бегунок);
• Масса груза (красный бегунок);
• Длина балки (коричневый бегунок);
• Положение точки подвеса груза на балке (желтая точка L);
• Положения опор балки (голубые точки);

При этом автоматически вычисляются следующие величины:

• Сила тяжести, действующая на балку (mg_б);
• Сила тяжести, действующая на груз (mg_L);
• Силы реакции для обеих опор (N₁ и N₂);

Управление интерактивной моделью

Модель разработана при помощи системы динамической математики GeoGebra

Автор: Анухин П.М., преподаватель физики, Аничков лицей
Создано: 29.02.2012
Лицензия: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Скачать модель