| language

При движении по криволинейной траектории, даже когда линейная скорость тела неизменна, тело движется ускоренно. Центростремительное ускорение направлено перпендикулярно (нормально) к вектору скорости и «отвечает» за изменение направления этого вектора. Нормальное ускорение a_n прямо пропорционально квадрату линейной скорости v² и обратно пропорционально радиусу кривизны траектории R

Физика в школе и дома

page id: 100 (Кэшируется)

Теги: равновесие статика масса рычаг векторы сила момент_силы механика модели


(1.2.5) Интерактивные модели по физике, виртуальный практикум » Виртуальный практикум по физике » Механика » Равновесие механической системы

Интерактивная модель
Немного теории о равновесии грузов на рычаге

Равновесие механической системы

Рычаг — простейшее механическое устройство, представляющее собой твёрдое тело (перекладину), вращающееся вокруг точки опоры. Стороны перекладины по бокам от точки опоры называются плечами рычага.

Рычаг — одно из древнейших простейших механизмов, известных человечеству.

Первое письменное объяснение дал в III веке до н. э. Архимед, связав понятия силы, груза и плеча. Закон равновесия, сформулированный им, используется до сих пор и звучит как: «Усилие, умноженное на плечо приложения силы, равно нагрузке, умноженной на плечо приложения нагрузки, где плечо приложения силы — это расстояние от точки приложения силы до опоры, а плечо приложения нагрузки — это расстояние от точки приложения нагрузки до опоры». По легенде, осознав значение своего открытия, Архимед воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!»

Правило рычага можно рассматривать как частный случай условий равновесия механической системы. Если механическая система представляет собой абсолютно твердое тело, то в инерциальной системе отсчета его поведение будет описываться системой из двух векторных уравнений:

F_Σ = ma

— Второй закон Ньютона,

утверждающий, что ускорение тела a прямо пропорционально векторной сумме всех сил F_Σ, действующих на тело, и обратно пропорцильно массе тела m. Если твердое тело является протяженным, то о равенстве ускорений всех точек этого тела можно говорить только в случае поступательного движения. Поэтому требуется добавить, что для протяженного тела ускорение a — это ускорение точки, называемой центром масс тела. Если векторная сумма всех сил равна нулю, то и ускорение тела, согласно второму закону Ньютона, отказывается равным нулю. То есть тело относительно инерциальной системы отсчета может либо находиться в состоянии покоя, либо двигаться равномерно и прямолинейно. Очевидно, что для равновесия механической системы равенство нулю суммы всех сил является первым необходимым условием. Однако, это условие не является достаточным. Для того, чтобы тело находилось в состоянии равновесия необходимо, чтобы, чтобы эти силы не только не придавали телу ускорения, но и не приводили его во вращательное движение. Условие этого может быть получено из другого уравнения динамики, которое по виду и по смыслу очень похоже на второй закон Ньютона.

M_Σ = Îε

— Основного уравнения динамики вращательного движения

В этом уравнеии:

M_Σ — суммарный момент сил, действующих на тело. Эта величина в некотором смысле — аналог силы во втором законе Ньютона.
Î — тензор инерции тела. Величина, характеризующая инертные свойства тела относительно вращательного движения, — аналог массы.
ε = dω/dt — угловое ускорение, производная от угловой скорости по времени, аналог «обычного» ускорения. Величина, характеризующая изменение скорости вращения тела

Несмотря на схожесть формы, за основным уравнением динамики вращательного движения стоит несколько более сложная математика, чем в случае со вторым законом Ньютона. В общем случае величина Î может быть представлена в виде матрицы, и следовательно, для детального анализа этого выражения требуется знание по крайней мере основ линейной алгебры. Для примера стоит, наверное, отметить, что, в отличие от второго закона Ньютона, вектора M_Σ и ε далеко не всегда коллинеарны. Это означает, что если внешние силы «пытаются закрутить» тело вокруг одной оси, то оно может «усиливать вращение» вокруг другой оси. В этом, на качественном уровне, состоит ответ на вопрос, «почему закрученный волчок может крутиться, не падая» или «почему велосипедист, наклоняясь вправо, вместо того, чтобы упасть, поворачивает».

Несмотря сложность задачи в общем случае, для состояния равновесия из написанного уравнения можно сделать важный практический вывод. Равновесие тела означает, что тело «не раскручивается» вокруг любой из своих осей, что означает, что угловое ускорение ε = 0. Из этого тут же следует, что суммарный момент силы тоже равен нулю. Какой сложной ни была бы математика, но умножение на нуль всегда даст нуль! И так мы получили второе необходимое условие равновесия: равенство нулю суммы всех моментов сил, действующих на тело.

И так на основе двух уравнений динамики можно сформулировать два необходимых условия равновесия:
Твердое тело может находиться в равновесии, если:

Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: F_Σ = 0 (правило сил);
Сумма (в общем случае тоже векторная) моментов всех сил, действующих на тело равна нулю: M_Σ = 0 (правило моментов сил).

Момент силы

В школьной физике момент силы чаще всего не рассматривается как векторная величина (для этого нужно вводить понятие векторного произведения) и определяется как произведение модуля силы на плечо силы. При этом плечо силы зависит от выбора оси вращения. Если ограничиваться случаем, когда все силы лежат в одной плоскости, то ось вращения с необходимостью будет перпендикулярна этой плоскости. Как известно из стереометрии, пересечение плоскости и прямой, перпендикулярной этой плоскости — это одна точка. Будем называть её (не совсем корректно) «центром вращения». Любая сила, приложенная к телу, действует всегда вдоль некоторой прямой. Так вот плечо силы — это расстояние от оси вращения (на плоскости — от нашего «центра вращения») до прямой, вдоль которой действует сила.
Подробнее о знаках момента силы

Возникает вопрос: модуль силы — величина неотрицательная, расстояние величина неотрицательная. Как, не будучи нулем, в сумме такие величины могут давать ноль? Дело в том, что вращение может происходить в двух направлениях: по часовой и против часовой стрелки. В математике и физике «положительным» считается направление вращения против часовой стрелки. Поэтому моменты сил, поворачивающие тело против часовой стрелки (относительно выбранной оси) берутся со знаком «+», а моменты, поворачивающие тело по часовой стрелке — со знаком «–». Если линия действия силы пересекает ось вращения (проходит через наш «центр вращения»), то момент этой силы равен нулю и записывать его в качестве слагаемого в уравнение не требуется.

Рычаг с подвешенными грузами — механическая система

На эту системы действуют следующие силы:

Силы тяжести каждого из грузов, приложенные в точке их подвеса.
Сила реакции опоры, приложенная в точке опоры, вокруг которой может вращаться рычаг.

Интерактивная модель «Равновесие трех грузов на рычаге»

В модели можно изменять следующие величины:

Координаты каждого из грузов на рычаге;
Массы каждого из трех грузов.

Управление интерактивной моделью

Изменить масштаб: «CTRL + колесо мыши» или «CTRL + "+"»–«CTRL + "–"»
Изменить позицию: перетащить при зажатой «CTRL + левая кнопка мыши»
Стереть все «следы»: «CTRL + F»

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started.
Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser
(Click here to install Java now)

Модель разработана при помощи системы динамической математики GeoGebra

Автор: Анухин П.М., преподаватель физики, Аничков лицей
Создано: 5.11.2010
Лицензия: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Creative Commons License

Скачать модель

Авторами моделей, отмеченных знаком © CC-BY-SA, Являются указанные на сайте http://school-physics.spb.ru (external link)

лица. Интерактивные модели распространяются по лицензии Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Attribution-ShareAlike (by-sa) — Лицензия «С указанием авторства — Копилефт». Эта лицензия позволяет другим перерабатывать, исправлять и развивать произведение даже в коммерческих целях при условии указания авторства и лицензирования производных работ на аналогичных условиях. Эта лицензия является копилефт-лицензией. Все новые произведения основанные на лицензированном под нею будут иметь аналогичную лицензию, поэтому все производные будет разрешено изменять и использовать в коммерческих целях. При воспроизведении работ, распространяемых по данной лицензии ссылка на сайт http://school-physics.spb.ru обязательна!
Скачать модель