| language

Формула Эйнштейна, описывающая внешний фотоэффект. Суть этой формулы заключается в том, что при внешнем фотоэффекте энергия падающего кванта света расходуется на преодоление электроном работы выхода и кинетическую энергию вылетающего электрона. Эта формула — может быть рассмотрена как следствие закона сохранения энергии.

Физика в школе и дома

page id: 135 (Кэшируется)

Теги: интерактив практикум колебания механика динамика маятники траектория формула энергия анимация модели лабораторные


(1.2.6) Интерактивные модели по физике, виртуальный практикум » Виртуальный практикум по физике » Механика » Затухающие колебания математического маятника: фазовая траектория

Интерактивная модель:
Немного теории колебаний математического маятника

Математический маятник при наличии трения (малые колебания)

Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Малые колебания математического маятника происходят по гармоническому закону:

x(t) = A cos(ω₀t+φ),

Где:

A — амплитуда колебаний — максимальное значение смещения колеблющейся материальной точки от положения равновесия.
ωt+φ — фаза колебаний — величина, описывающая состояние колебательной системы в настоящий момент времени (аргумент косинуса). При гармонических колебаниях фаза колебаний по форме совпадает с законом равномерного движения по окружности, в который входят следующие величины:...

ω₀ — циклическая частота колебаний — величина, характеризующая скорость колебательного процесса. Эта величина совпадает с угловой скоростью в законе равномерного движения по окружности.
t —текущий момент времени — обязательный параметр, входящий в любой закон движения. Эта величина представляет собой момент времени, в который мы хотим определить состояние колеблющейся системы.
φ — начальная фаза колебаний — величина, характеризующая состояние системы в нулевой момент времени. С физической точки зрения эта величина показывает, каким образом колебания возбуждаются в начальный момент времени: Если φ= 0 или φ = π, то косинус равен ±1, то есть система находится в состоянии максимального отклонения от равновесия, а запуск производится при помощи передачи системе потенциальной энергии (отклонение маятника от вертикали). Если ±φ= π/2 , то косинус равен 0, то есть система находится в состоянии равновесия, а запуск производится при помощи передачи системе кинетической энергии (толчок маятника).

Период малых колебаний математического маятника может быть выражен через его длину и ускорения свободного падения:

Период колебаний математического маятника

Примечательным является факт, что этот период не зависит от массы колеблющегося тела. Циклическая частота колебаний связана с периодом простой формулой:

ω = 2π/T,

Откуда нетрудно видеть, что частота равна:

Колебания математического маятника при наличии вязкого трения

Колебательный закон движения математического маятника при наличии вязкого трения (сила такого трения пропорциональна скорости движения: F = –γv ) описывается законом:

x(t) = A e^–γt/2 cos(ω_γt+φ)

Из уравнения видно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем экспоненциально: A_t = A e^–γt/2. Следует отметить также, что частота колебаний ω_γ отличается от собственной частоты гармонических колебаний ω₀, однако, если сила трения мала (γ ≈ 0), то частоты отличаются весьма незначительно...

Частота колебаний осциллятора при наличии трения уменьшается:

Циклическая частота гармонического колебания при наличии вязкого трения

Если величина коэффициента вязкого трения меньше удвоенной частоты колебания: γ/2 < ω, то величина, стоящая под корнем положительна и маятник совершает колебания, отклоняясь периодически от положения равновесия в разные стороны. Эта ситуация и отображена в представленной интерактивной модели. Если же трение становится слишком большим, то подкоренное выражение становится отрицательным и частота становится чисто мнимой величиной. Если воспользоваться формулой Эйлера, то можно увидеть, что косинус от мнимой частоты превращается в экспоненту. Таким образом при очень большой вязкости среды при отведении математического маятника от положения равновесия он не будет совершать колебаний, а будет просто постепенно возвращаться в исходное состояние.

Фазовая траектория колебания математического маятника

Состояние математического маятника в любой момент времени определеятся двумя величинами: его координатой и импульсом. Это состояние может быть изображено точкой на координатной плоскости особого вида, которая называется фазовой плоскостью. Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы. Для нашего маятника это импульс и координата.
Если маятник совершает малые колебания, а трение пренебрежимо мало, то выполняется закон сохранения энергии:

E₀ = p²/(2m) + kx²/2 = const,

где k = ω²m — «коэффициент жесткости» математического маятника, коэффициент вводимый для того, чтобы выразить потенциальную энергию маятника через его координату. Вышеописанное уравнение представляет собой уравнение эллипса на фазовой плоскости.

При наличии трения будет происходить диссипация энергии колебаний маятника — рассеивание и переход в тепло за счет работы силы трения. Поэтому фазовая траектория — линия, которую описывает точка фазового состояния в процессе движения, будет представлять собой эллиптическую спираль. Витки этой спирали идут тем плотнее, чем меньше сила трения, действующая на математический маятник.

Интерактивная модель «Колебания математического маятника при наличии трения»

В модели можно варьировать следующие величины:

Длина маятника;
Амплитуда колебаний маятника;
Масса математического маятника;
Коэффициент вязкого трения;
Положение точки подвеса маятника;

В модели автоматически определяются:

Состояние маятника в текущий момент времени (его координата и скорость);
Изображается фазовая траектория колебаний.

Скачать задание к виртуальной лабораторной работе «Колебания математического маятника: зависимость периода колебаний от длины»

Управление интерактивной моделью

Изменить масштаб: «CTRL + колесо мыши» или «CTRL + "+"»–«CTRL + "–"»
Изменить позицию: перетащить при зажатой «CTRL + левая кнопка мыши»
Стереть все «следы»: «CTRL + F»

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started.
Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser
(Click here to install Java now)

Модель разработана при помощи системы динамической математики GeoGebra

Автор: Анухин П.М., преподаватель физики, Аничков лицей
Создано: 15.02.2012
Лицензия: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Creative Commons License

Скачать модель

Авторами моделей, отмеченных знаком © CC-BY-SA, Являются указанные на сайте http://school-physics.spb.ru (external link)

лица. Интерактивные модели распространяются по лицензии Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Attribution-ShareAlike (by-sa) — Лицензия «С указанием авторства — Копилефт». Эта лицензия позволяет другим перерабатывать, исправлять и развивать произведение даже в коммерческих целях при условии указания авторства и лицензирования производных работ на аналогичных условиях. Эта лицензия является копилефт-лицензией. Все новые произведения основанные на лицензированном под нею будут иметь аналогичную лицензию, поэтому все производные будет разрешено изменять и использовать в коммерческих целях. При воспроизведении работ, распространяемых по данной лицензии ссылка на сайт http://school-physics.spb.ru обязательна!
Скачать модель