page id: 135
| language
Теги:
интерактив
практикум
колебания
механика
динамика
маятники
траектория
формула
энергия
анимация
модели
лабораторные
(1.2.6) Интерактивные модели по физике, виртуальный практикум » Виртуальный практикум по физике » Механика » Затухающие колебания математического маятника: фазовая траектория |
Математический маятник при наличии трения (малые колебания)
Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Малые колебания математического маятника происходят по гармоническому закону:
x(t) = A cos(ω0t+φ),
Где:- A — амплитуда колебаний — максимальное значение смещения колеблющейся материальной точки от положения равновесия.
- ωt+φ — фаза колебаний — величина, описывающая состояние колебательной системы в настоящий момент времени (аргумент косинуса). При гармонических колебаниях фаза колебаний по форме совпадает с законом равномерного движения по окружности, в который входят следующие величины:...
- ω0 — циклическая частота колебаний — величина, характеризующая скорость колебательного процесса. Эта величина совпадает с угловой скоростью в законе равномерного движения по окружности.
- t —текущий момент времени — обязательный параметр, входящий в любой закон движения. Эта величина представляет собой момент времени, в который мы хотим определить состояние колеблющейся системы.
- φ — начальная фаза колебаний — величина, характеризующая состояние системы в нулевой момент времени. С физической точки зрения эта величина показывает, каким образом колебания возбуждаются в начальный момент времени: Если φ= 0 или φ = π, то косинус равен ±1, то есть система находится в состоянии максимального отклонения от равновесия, а запуск производится при помощи передачи системе потенциальной энергии (отклонение маятника от вертикали). Если ±φ= π/2 , то косинус равен 0, то есть система находится в состоянии равновесия, а запуск производится при помощи передачи системе кинетической энергии (толчок маятника).
Период малых колебаний математического маятника может быть выражен через его длину и ускорения свободного падения:
ω = 2π/T,
Откуда нетрудно видеть, что частота равна: Колебания математического маятника при наличии вязкого трения
Колебательный закон движения математического маятника при наличии вязкого трения (сила такого трения пропорциональна скорости движения: F = –γv ) описывается законом: x(t) = A e–γt/2 cos(ωγt+φ)
Из уравнения видно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем экспоненциально: At = A e–γt/2. Следует отметить также, что частота колебаний ωγ отличается от собственной частоты гармонических колебаний ω0, однако, если сила трения мала (γ ≈ 0), то частоты отличаются весьма незначительно...Частота колебаний осциллятора при наличии трения уменьшается:
Если величина коэффициента вязкого трения меньше удвоенной частоты колебания: γ/2 < ω, то величина, стоящая под корнем положительна и маятник совершает колебания, отклоняясь периодически от положения равновесия в разные стороны. Эта ситуация и отображена в представленной интерактивной модели. Если же трение становится слишком большим, то подкоренное выражение становится отрицательным и частота становится чисто мнимой величиной. Если воспользоваться формулой Эйлера, то можно увидеть, что косинус от мнимой частоты превращается в экспоненту. Таким образом при очень большой вязкости среды при отведении математического маятника от положения равновесия он не будет совершать колебаний, а будет просто постепенно возвращаться в исходное состояние.
Фазовая траектория колебания математического маятника
Состояние математического маятника в любой момент времени определеятся двумя величинами: его координатой и импульсом. Это состояние может быть изображено точкой на координатной плоскости особого вида, которая называется фазовой плоскостью. Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы. Для нашего маятника это импульс и координата.Если маятник совершает малые колебания, а трение пренебрежимо мало, то выполняется закон сохранения энергии:
E0 = p2/(2m) + kx2/2 = const,
где k = ω2m — «коэффициент жесткости» математического маятника, коэффициент вводимый для того, чтобы выразить потенциальную энергию маятника через его координату. Вышеописанное уравнение представляет собой уравнение эллипса на фазовой плоскости.При наличии трения будет происходить диссипация энергии колебаний маятника — рассеивание и переход в тепло за счет работы силы трения. Поэтому фазовая траектория — линия, которую описывает точка фазового состояния в процессе движения, будет представлять собой эллиптическую спираль. Витки этой спирали идут тем плотнее, чем меньше сила трения, действующая на математический маятник.
Интерактивная модель «Колебания математического маятника при наличии трения»
В модели можно варьировать следующие величины:- Длина маятника;
- Амплитуда колебаний маятника;
- Масса математического маятника;
- Коэффициент вязкого трения;
- Положение точки подвеса маятника;
- Состояние маятника в текущий момент времени (его координата и скорость);
- Изображается фазовая траектория колебаний.
Управление интерактивной моделью
- Изменить масштаб: «CTRL + колесо мыши» или «CTRL + "+"»–«CTRL + "–"»
- Изменить позицию: перетащить при зажатой «CTRL + левая кнопка мыши»
- Стереть все «следы»: «CTRL + F»
Модель разработана при помощи системы динамической математики GeoGebra
Автор: Анухин П.М., преподаватель физики, Аничков лицей
Создано: 15.02.2012
Лицензия: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Скачать модель
Авторами моделей, отмеченных знаком © CC-BY-SA, Являются указанные на сайте http://school-physics.spb.ru лица. Интерактивные модели распространяются по лицензии Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Attribution-ShareAlike (by-sa) — Лицензия «С указанием авторства — Копилефт». Эта лицензия позволяет другим перерабатывать, исправлять и развивать произведение даже в коммерческих целях при условии указания авторства и лицензирования производных работ на аналогичных условиях. Эта лицензия является копилефт-лицензией. Все новые произведения основанные на лицензированном под нею будут иметь аналогичную лицензию, поэтому все производные будет разрешено изменять и использовать в коммерческих целях. При воспроизведении работ, распространяемых по данной лицензии ссылка на сайт http://school-physics.spb.ru обязательна!
Скачать модель
Attribution-ShareAlike (by-sa) — Лицензия «С указанием авторства — Копилефт». Эта лицензия позволяет другим перерабатывать, исправлять и развивать произведение даже в коммерческих целях при условии указания авторства и лицензирования производных работ на аналогичных условиях. Эта лицензия является копилефт-лицензией. Все новые произведения основанные на лицензированном под нею будут иметь аналогичную лицензию, поэтому все производные будет разрешено изменять и использовать в коммерческих целях. При воспроизведении работ, распространяемых по данной лицензии ссылка на сайт http://school-physics.spb.ru обязательна!
Скачать модель
Математический маятник при наличии трения. Затухающие колебания, закон движения
Created by admin. Last Modification: Воскресенье 03 / Февраль, 2013 12:19:21 GMT+04:00 by admin.
Sidebar
Меценатам
Если Вы хотите поддержать сайт, заполните небольшую формочку